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Desarrollo y educación matemática


Desarrollo y educación matemática:

José Luis Cózar Mata. Psicopedagogía Universidad de Granada.

En esta comunicación tengo la intención de que a través de una breve introducción en la que voy a comentar la correspondencia que es posible observar en el desarrollo del pensamiento matemático de la humanidad y del niño, la importancia de la problemática herencia-ambiente en el ámbito de las matemáticas y los principales factores de riesgo en el desarrollo matemático, pasaré a analizar los distintos marcos teóricos que han servido como fundamento teórico para dicho desarrollo.

à Factores de riesgo en el desarrollo matemático:

Los riesgos son una serie de variables que aumentan la probabilidad de que se produzcan dificultades. Así, cuando hablamos de vulnerabilidad y grado de resistencia ante la adversidad y los problemas que varían de unos individuos a otros.

Siguiendo las directrices marcadas por Coie y otros ( 1993), existe la siguiente relación de factores:

· Constitucionales:

- Influencias hereditarias y anomalías genéticas.

- Complicaciones prenatales y durante el nacimiento.

- Enfermedades y daños sufridos después del nacimiento.

- Alimentación y cuidados médicos inadecuados.

· Familiares:

- Pobreza.

- Malos tratos, indiferencia.

- Conflictos y desorganización, psicopatología y estrés.

- Famuilia numerosa.

· Emocionales e interpersonales:

- Patrones psicológicos tales como baja autoestima, inmadurez emocional, temperamento infantil.

- Incompetencia social.

- Rechazo por parte de los iguales.

· Intelectuales y académicos:

- Inteligencia por debajo de la media.

- Fracaso escolar.

· Ecológicos:

- Vecindario desorganizado y con delincuencia.

- Injusticias raciales, étnicas y de género.

· Acontecimientos de la vida no normativos que generan estrés:

- Muerte prematura de los progenitores.

- Estallido de una guerra en el entorno inmediato.

à EL DESARROLLO DEL PENSAMIENTO MATEMÁTICO:

Los niños conforme se van desarrollando y van adquiriendo una serie de capacidades tales como hablar, leer, calcular, razonar de manera abstracta... comprender como se producen estos logros e intentar discriminar hasta que punto la evolución que observamos es fruto de un cambio evolutivo que sufre el niño.

Nosotros como psicopedagogos consideraremos que dada la estrecha relación entre ambos tipos de cambio es conveniente presentar los principales intentos de descripción y explicación del funcionamiento de la mente infantil. Así, voy a presentar al sujeto modular de Fodor en primer lugar, a continuación del cual presentaré la estructura de la obra de Piaget y como fin de la presentación hablaré de las teorías de Vigotsky y Bruner.

1. EL SUJETO MODULAR DE FODOR:

Fodor ( 1986) sostiene que la mente posee una arquitectura con especificaciones innatas relativamente fijas, es decir, la mente está compuesta por módulos o sistemas de datos de entrada genéticamente especificados, de funcionamiento independiente y dedicados a propósitos específicos.

Según éste, la información procedente del ambiente externo pasa primero por un sistema de transductores sensoriales, los cuales transforman los datos poniéndolos en el formato que puede procesar cada sistema especializado de entrada. Cada sistema de entrada produce datos de un formato adecuado para el procesamiento central de dominio general.

Las otras partes de la mente no pueden influir en el funcionamiento interno de un módulo, ni tener acceso a él, solo a los datos que produce. Los módulos solo tienen acceso en niveles inferiores, no a la información de procesos. Los módulos de Fodor son amplios: módulos de lenguaje, de percepción. Otros autores tienden a trazar distinciones más finas dentro de un dominio y hablan del módulo sintáctico, semántico o fonológico.

Fodor da por sentado que los módulos del lenguaje hablado y la percepción visual se encuentran innatamente determinados. Sin embargo, Karmilloff-Smith distingue entre la noción de módulo predeterminado y procesos de modularización, que según sus especulaciones ocurría de forma reiterada como producto del desarrollo, teniendo en cuenta la plasticidad del desarrollo temprano del cerebro.

2. TEORÍA DE PIAGET:

Esta teoría asume un postulado universalista sobre el desarrollo del pensamiento humano. De este modo interpreta que los niños evolucionan a través de una secuencia ordenada de estados, lo que presupone una visión discontínua del desarrollo, rígida con un carácter teleológico cuya finalidad es la consecuencia del pensamiento formal con el que se consigue la adaptación plena al medio. Así, se postula que la interpretación que realizan los sujetos sobre el mundo es cualitativamente distinta dentro de cada periodo, alcanzando su nivel máximo en la adolescencia y en la etapa adulta. Desde esta teoría se asume que la causa del cambio es interna en el individuo y que éste busca de forma activa el entendimiento de la realidad en la cual está inmerso.

En el marco de la teoría piagetiana consideramos que el niño va comprendiendo progresivamente el mundo que le rodea del siguiente modo:

A) MEJORANDO SU SENSIBILIDAD A LAS CONTRADICCIONES:

Hacia los cinco o seis años por una parte son todos iguales y por otra son diferentes, sin encontrar en esta afirmación ninguna contradicción. Lo más que hacen es señalar que los tres primeros son pequeños y los cuatro últimos son grandes; pero cuando se les pide que comparen el tercero con los cuatro cambian los grupos y consideran que los cuatro primeros son pequeños y los tres últimos son grandes. A medida que se les va preguntando cambian de nuevo las divisiones.

Desde aproximadamente los 7 años hasta los 10, se dan cuenta de la contradicción existente, pero tienen dificultades para explicarla. A partir de los 11 años, no solo se dan cuenta de la contradicción, sino que señalan la necesidad de que los discos contiguos, aunque parezcan iguales, en realidad no lo son, y descubren que es la suma de esas diferencias imperceptibles, la que produce una diferencia perceptible entre los discos en los extremos.

B) REALIZANDO OPERACIONES MENTALES:

Según Piaget, el niño hasta los 6/7 años no es capaz de realizar operaciones mentales, por esta razón su menta opera de forma preoperacional.

La apariencia externa no influye en que seamos capaces de realizar una operación mental. Y por lo tanto la apariencia externa no influye en que seamos capaces de quedarnos con lo esencial. Para Piaget una operación implica siempre una forma de acción. Es necesario “ operar” sobre el mundo para comprenderlo. Estas operaciones no se dan aisladamente, sino que se organizan en un sistema mayor de estructuras cognitivas interrelacionadas. Constituyen la forma lógica de solucionar problemas, mentalmente, hacia la que el niño ha ido moviéndose lentamente desde el comienzo de la inteligencia representativa.

C) COMPRENDIENDO LAS TRANSFORMACIONES:

La comprensión de las transformaciones que tiene lugar en la realidad requiere que el sujeto entienda que hay aspectos que se conservan y otros que se modifican. Los aspectos que se conservan se denominan invariantes. Piaget estudió la comprensión de algunas nociones de conservación.

D) APRENDIENDO A CLASIFICAR:

Para entender la realidad es necesario saber organizarla. Esto supone agrupar cosas que son semejantes. Las clasificaciones tienen una serie de propiedades lógicas que los sujetos van construyendo conforme avanzan en su desarrollo.

Se pueden estudiar las clasificaciones dando a los niños un juego de bloques lógicos, es decir, una serie de formas geométricas de distintos color y tamaño. Los niveles de la conducta de clasificación son:

- Colecciones figurales: el niño agrupa los elementos de acuerdo con razones variadas, que no tienen necesariamente que ver con la búsqueda de uno o varios rasgos para establecer la clasificación.

- Colecciones no figurales: comienza a agrupar las figuras por sus semejanzas, poniendo juntos por un lado los cuadrados, por otro los círculos, por otro los rectángulos, ... e incluso puede separar los grandes de los pequeños pero aunque consiga eso, todavía no puede hablarse de clases pues la conducta de los niños presenta una serie de limitaciones. Así no logra cambiar el criterio de clasificación ni tampoco puede comparar un grupo como el de los cuadrados, con otro que esté incluido dentro de él como el de los cuadrados que son rojos.

- Clasificación propiamente dicha: un sujeto es capaz de construir auténticas clases cuando puede cambiar los criterios de clasificación y resuelve otros problemas como todos y algunos denominados cuantificadores.

E) APRENDIENDO A REALIZAR SERIES:

El desarrollo de la capacidad de seriación puede estudiarse dando a los niños 10 varillas que colocan desordenadas sobre una mesa y pidiéndole que las orden o que haga con ellas una escalera desde la más pequeña hasta la más grande. Al realizar esta actividad vemos tres niveles:

- No son capaces de realizar una serie.

- Son capaces de realizar una serie utilizando un método empírico: realizan la serie completa pero por ensayo y error, toman una varilla, la colocan sobre la mesa, toman otra y la sitúan a la derecha o a la izquierda, según sea más grande o más pequeña y así va probando.

- Realizan una serie utilizando un procedimiento sistemático: toman la más pequeña de las varillas, luego la más pequeña de las que quedan y así van probando.

F) ADQUIRIENDO LA NOCIÓN DE NÚMERO: Siguiendo lo que nos marca Dickson ( 1991) a la mayoría de los adultos el conocimiento y uso de los nueve primeros números naturales les parece algo muy sencillo. Pero, el niño normal necesita alrededor de cinco años para aprender a manejar coherentemente esos números y saber cómo aplicarlos a una variedad de situaciones de la vida cotidiana.

El aspecto de la comprensión numérica que más interesa a Piaget es la capacidad del niño de conservar el número frente a un cambio perceptivo. Algunos de los errores de la metodología piagetiana como preguntar a los niños dónde hay más cuando se presentaban el mismo número de elementos ocupando más o menos espacio. Se han superado reduciendo las demandas verbales y permitiendo a los niños coger dulces para comer o zumos para beber. Se ha procurado también crear contextos más familiares y naturales incluyendo la tarea en un juego continuo.

Gelman ( 1972) demostró que si la tarea era suficientemente simplificada incluso niños de tres años pueden mostrar algún conocimiento sobre la invarianza del número. También éste ha estudiado otros aspectos de la comprensión del número en los niños pequeños y ha demostrado que el contar temprano es menos mecánico y confuso de lo que los piagetianos solían afirmar. También argumenta que habilidades numéricas tempranas tienen ciertas similitudes con las habilidades lingüísticas tempranas y sugiere que debe haber un importante apoyo biológico también en la competencia numérica. Las investigaciones de Wynn ( 1992) parecen demostrar que los bebes son capaces de sumar y restar de manera muy simple, señalaría que el aprendizaje matemático puede construirse sobre una sensibilidad, es algo que habrá que estudiar en profundidad pues quizás sea unas de las posibles causas de las dificultades de aprendizaje en el ámbito de las matemáticas.

las distintas capacidades biológicas que surgen durante los dos primeros años de vida, las más importantes son las de codificación enactiva, icónica y simbólica. Estas capacidades aparecen según su orden de aparición filogenética alrededor de los 6, 12 y 18 meses de vida. Adquieren importancia pues permiten a los niños pequeños elaborar sistemas representacionales es decir, sistemas para codificar y transformar la información a la que están expuestos y sobre la que deben actuar.

La obra de Bruner ha influido notablemente en el modelo de enseñanza de las matemáticas, vemos como en los análisis realizados sobre la representación que utilizará el alumno y el tipo de lenguaje utilizado.

Por tanto, la implicación educativa que podemos extraer de la aportación de Bruner es que siempre se trabajen procesos mentales, se debe ir hacia atrás, para relacionar los contenidos con lo que el estudiante ya sabe y con sus procesos intuitivos y al mismo tiempo ir hacia delante, favoreciendo la transferencia.

3. TIPOS DE COMPETENCIAS MATEMÁTICA:

Los psicólogos tienen o comparten un fin determinado que es el de comprender el comportamiento pero difieren en los niveles de análisis que adoptan y en las tres áreas de conducta ( social, emocional, e intelectual).

Los profesionales del ámbito educativo no podemos dividir al aprendiz, de ahí que debamos intentar analizar al mismo tiempo su estado social, emocional e intelectual, utilizando los tres niveles de análisis: conductuales, fisiológicos y cognitivos, sólo así podremos comprender en muchas ocasiones cómo se ha producido el aprendizaje, o porque no aprende el niño.

Cuando hablamos específicamente del aprendizaje matemático debemos distinguir entre los aspectos computacionales de las matemáticas ( algoritmos, reglas, cálculo...) y los aspectos conceptuales ( heurística, resolución de problemas, y comprensión). Por ejemplo si hacemos que un alumno sume 26+14 estamos haciendo hincapié en el cálculo pero si decimos Luis tiene 26 canicas y gana 14 más ¿ cuantas canicas tiene? Estamos trabajando la comprensión y el cálculo. De igual forma podemos presentar a los estudiantes una ecuación para que la resuelvan o decirles “ Teresa tiene tres veces más sellos que Ana y Pablo tiene dos veces menos sellos que Ana. Juntas Teresa y Ana tienen 150 sellos. ¿ Cuantos sellos tiene Ana?. Es evidente que la dificultad se complica cuando además de estrategias de resolución tienen estrategias de comprensión.

De forma general podemos decir, que la competencia matemática está compuesta por tres componentes: aspectos procedimentales, aspectos conceptuales y simbólicos.

4. APROXIMACIÓN AL ESTUDIOS DEL DESARROLLO DE CONCEPTOS MATEMÁTICOS:

Un aspecto importante de los conceptos es su denominación, ya que el lenguaje humano está íntimamente ligado a los conceptos y a la formación de conceptos. A los niños les cuesta especialmente separar el concepto de su nombre, Vigotsky demuestra que en una de sus investigaciones en las que pide a los niños que cambien los nombres de algunos objetos y es estonces cuando les formuló preguntas sobre ellos.

La distinción entre un concepto y su nombre es algo esencial. Un concepto es una idea ; el nombre de un concepto es un sonido o una marca sobre el papel que el niño asocia con él. Ésta asociación puede formarse después de que el concepto se haya formado.

En el desarrollo infantil las palabras que se refieren a los números se usan poco después de que el niño comience a hablar. No obstante entre este uso de la palabra numérica es “ repetir de igual forma que un loro”, de ahí que resulte difícil determinar qué significa n realidad un número para el niño y cuando lo utiliza de modo significativo.

Es importante destacar que gran parte de nuestro conocimiento cotidiano lo aprendemos directamente, a partir de nuestro entorno, y los conceptos que se emplean no son muy abstractos.

En resumidas cuentas podemos señalar que existen dos marcos teóricos generales para explicar la caracterízación del término concepto:

· Teoría clásica: que considera a los conceptos como entidades abstractas representativas de la realidad que nos rodea. Según este marco teórico, los conceptos están claramente definidos en función de un conjunto de rasgos y de las relaciones que se establezcan entre ellos.

· La teoría probabilística, representada por Rosch, mantiene que los conceptos o categorías naturales han de analizarse en relación con la noción de prototipo, que es el ejemplar que mejor representa a la categoría. Los rasgos que se atribuyen a la categoría formarían un conjunto borroso.

5. BIBLIOGRAFÍA:

Miranda, A. Fortes, C. Gil M.D ( 2000). Dificultades del aprendizaje de las matemáticas. Un enfoque evolutivo. Ed. Aljibe. Málaga.

Deaño, M ( 1994). Dificultades selectivas de aprendizaje: matemáticas. En S. Molina

( director): Bases Psicopedagógicas de la educación especial. Alcoy. Marfil.

Dickson, L ( 1991). El aprendizaje de las matemáticas. MEC/Labor. Barcelona.

Delval, J ( 1994). El desarrollo humano. Siglo XXI. Madrid






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